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能請大家幫我解一些數學題目（高中） 20點

發問:

1.設 a<1 解x的不等式：ax+a-x-1>0 得x的範圍為？ 2.一凸n邊形其內角度數成等差數列，公差為6度,且最大內角為156度，則其邊數n為多少？ 3.若一等比數列之首項為7，末項為224，級數和為441，則其項數為？ 4.三角形ABC中，AD為角BAC的角平分線，且AB=10，AC=5 BC=12 則BD=? CD=? 5.設O點為三角形ABC的外心，若角BAC=60度，BC=12公分 則：1.三角形ABC面積＝？ 2.OA＝？

最佳解答:

1.設 a<1 解x的不等式：ax+a-x-1>0 得x的範圍為？ [答] a < 1 , 所以 a-1 < 0 , 後式子因式分解得 (x+1)(a-1) > 0 表示(x+1)和(a-1)是同號 , 因同號相乘才會大於0 但又因 (a-1) < 0 , 故知 (x+1) 也 < 0 所以 x 的範圍為 x < (-1) 2.一凸n邊形其內角度數成等差數列，公差為6度,且最大內角為156度，則其邊數n為多少？ [答] 156當首項 , 公差變(-6) , 則最小度數=末項=156-6(n-1) 度數總和====> (n-2)*180 = (n/2) [ 156+156-6(n-1) ] 可求出 n=8 邊形 3.若一等比數列之首項為7，末項為224，級數和為441，則其項數為？ [答] an=a1r^(n-1)...........224=7*r^(n-1)..........故 r^(n-1) = 32 , r^n=32r Sn=a1(1-r^n) / (1-r).......................441=7(1-r^n) / (1-r) 63(1-r)=1-32r r = 2.................n=6 4.三角形ABC中，AD為角BAC的角平分線，且AB=10，AC=5 BC=12 則BD=? CD=? [答] 一三角形ABC中，角A的角平分線AD交BC於D點 則AB比AC等於BD比CD , 故 AB : AC = BD : CD = 10 : 5 = 2 : 1 故BD=12*2/3=8 , CD=12*1/3=4 5.設O點為三角形ABC的外心，若角BAC=60度，BC=12公分 則：1.三角形ABC面積＝？ 2.OA＝？ [答] 有一角=60度 , 此三角形必為正三角形 正三角面積=√3*邊長的平方 / 4 , 正三角形外心到頂點距離=√3*邊長 / 3 正三角形面積=√3*12*12 / 4 = 36√3 OA=√3*12 / 3 = 4√3 2009-09-01 08:58:56 補充： 如果版主要證明 我可以證給他看

其他解答:

1. ax+a-x-1>0 a(x+1)-(x+1)>0 (x+1)(a-1)>0 因為a<1，所以a-1<0 又因為正正為正，負負為正 x+1<0 x<-1 2. 三角形內角和180 四邊形內角和360 五邊形內角和540 . . . n邊形內角和180*(n-2) 各邊分別為156, 156-1*6. 156-2*6, ......, 156-(n-1)*6 角度和為156*n-[(n-1)*n/2]*6=180*(n-2) 式子展開整理後為 n^2+7n-120=0 解 n=8, -15(負不合) 所以n=8 3. 假設此等比數列公比r 7, 7*r, 7*r^2, ...... , 7*r^(n-1)=224 .............(1) 總和代入公式為 7*(r^n -1) / (r-1)=441 ............(2) 解(1)式 r^(n-1)=32 ..............................(3) r^n=r*[r^(n-1)]=32*r 代入(2)式 7(32r-1)/(r-1)=441 求得 r=2 代回(3)式 n=6 所以項數為6 4. 角平分線有個特性 BD:CD=AB:AC 所以 BD:CD=10:5=2:1 又 BC=BD+CD=12 所以BD=12*[2/(2+1)]=8, CD=12*[1/(2+1)]=4 5. 外心有個特性 角BOC=2*角BAC 並且外心與三個頂點距離皆相等 假設等於R 所以 角BOC=2*60=120 三角形BOC為等腰三角形(因為OB=OC=R) 所以角OBC=角OCB=(180-120)/2=30 又 BC : OB = sinBOC : sinOCB = sin120度 : sin30度 = sqrt(3)/2 : 1/2 = sqrt(3) : 1 所以 BC : OB = 12 : OB = sqrt(3) : 1 OB=4*sqrt(3) 因為OA=OB=OC 所以 OA= 4*sqrt(3) 至於三角形ABC的面積我還在想 想到會再補充上去 2009-09-01 00:15:27 補充： to: post386 只有一角是60度 應該沒辦法判斷是正三角形吧？ 2009-09-03 12:08:35 補充： to: post386 : 這是我的想法請您看一下有沒有錯誤 畫一個半徑 4*sqrt(3) 的圓 取兩點B與C使得線段BC=12 在優弧一端取一點A 使得那一點的角度角BAC=60度 因為可以從三角形推到外心畫一個圓相接 外心也可以畫個圓推回三角形 可是圓周角不是都一樣大嗎? 請問我哪個地方弄錯了?CF546184A985CA23