微積分求三角形面積－thhzpvx的部落格

標題:

微積分求三角形面積

發問:

已知坐標平面上三點O(0,0)、A(5,0)、B(5,4),設f(x)=-3x^4+12x^3為四次多項函數,P為y=f(x)圖形上一點,則兩三角形OAP與OAB之重疊部分面積的最大值為何？ 5000/509是用積分算出嗎??

最佳解答:

是用微分算的 f'(x)=-12x^3+36x^2=-12x^2(x-3) 簡單畫個圖可以知道f(x)與x軸交點為(0,0)與(4,0) 在x=3時有最大值，在x>3遞減所以題目所求的P點是過A做f(x)的切線，切點x坐標在3,4之間假設P(t,-3t^4+12t^3) 切線斜率為-12t^2(t-3) 切線方程式y-(-3t^4+12t^3)=-12t^2(t-3)(x-t) 過(5,0) 3t^4-12t^3=-12t^2(t-3)(5-t) 3t^2-28t+60=0 t=10/3,6 (我們要的是10/3) 此時切線斜率為-400/9 切線方程式y=-400/9*(x-5) 重疊部分找出切線與OB的交點的y坐標 OB直線y=4/5*x 聯立解出交點y坐標為2000/509 故面積為(1/2)*5*(2000/509)=5000/509